Bir taleyin oyununda cütlənmiş zərik...

Bir gün Molla Nəsrəddin gedir Teymurləngin yanına deyir:"Şah sağ olsun, eşitdim, münəccim axtarırsan, mən də gəldim deyəm ki, arvadımla mən ikimiz bir yerdə münəccimlik edə bilərik. Çünki həmişə ya o deyən olur, ya mən deyən. Məsələn o deyir ki, yağış yağacaq, mən deyirəm yağmayacaq. Həqiqətən də, həmin gün yağış ya yağır, ya yağmır. Daha üçüncü cür olmur."

Şair isə deyir ki, biz bir taleyin oyununda cütlənmiş zərik. Bəs görəsən, 100 il qoşa atılsaq, qoşa düşmək ehtimalımız nə qədərdir? Bunu da bilmək üçün münəccimlik gərəkdir.

Əgər ilk cümlələrdən və mövzunun adındakı zər sözündən mövzunun məğzini tutdunuzsa, düz başa düşmüsünüz. Bu gün sizə günümüzün münəccimləri Data Scientistlərin bilməli olduğu bir sehrdən danışacağam: ehtimal nəzəriyyəsindən. Elə isə vaxt itirmədən başlayaq.

Əvvəlcə gəlin, ehtimalla bağlı ilkin fikirlərimizi formalaşdıraq: biz nəyə ehtimal deyirik? Bir hadisənin baş vermə şansına. Gəlin işi riyazi müstəviyə daşıyaq. Araşdırdığımız hansısa bir vəziyyətə çoxluq kimi, baş verəcək hadisələrə də həmin çoxluğun elementləri kimi baxaq. Məsələn, tələbənin dərs davamiyyəti çoxluğumuz olsun. Bu çoxluqda iki cür element var: dərsə gəlmək və gəlməmək (budur sual). Ehtimal davamiyyət çoxluğundan qayıbların və ya iştirakların çıxma şansıdır. Əgər davamiyyət çoxluğunda dərsə gəlmədiyim günlərin sayı çoxdursa, deməli orada qayıb çıxma ehtimalı daha çoxdur. Əgər iştirakların sayı yuxarıdırsa, deməli çoxluqdan çıxacaq ixtiyari elementin iştirak olma ehtimalı yuxarıdır. Bu eynilə torbadan gözübağlı şəkildə çıxardığımız topların rəngini təxmin etməyə bənzəyir. Torbada iki növ (məsələn sarı və qırmızı) top varsa, baxmadan seçdiyim ixtiyari top bu iki növdən birinə aid olacaq. Əgər bu torbadakı sarı və qırmızı topların sayı bərabərdirsə, o zaman sarı və qırmızı topun çıxma halı bərabər ehtimallı hallardır.

Həyatımızda bu kimi bəzi bərabər ehtimallı hadisələr var: qəpik və ya zər atmaq kimi, yaxud da içinə hər rəngli topdan eyni miqdarda qoyulmuş torba kimi. Burada hər hadisənin baş vermə ehtimalı bərabərdir. Zərdə hər 6 rəqəmin də çıxma ehtimalı 1/6-dır. Çünki zərin 6 üzü var, və hər üzün çıxma ehtimalı ümumi 6 mümkün halın birini təşkil edir. Əgər tək rəqəmlərin çıxma ehtimalını hesablasaq, bu 1/2-dir, çünki bu halda, tək sayların çıxma ehtimalı mümkün 6 halını 3-nü yəni yarısını özündə birləşdirir (1,3,5). Bərabər ehtimallı hallarda lazımlı halları mümkün halların sayına bölərək ehtimalı müəyyən etmək olur. Burada lazımlı nəticə məndən soruşulan, mümkün nəticə isə baş verə biləcək hər şeydir.

Ehtimallar qabaqcadan bilinən, təcrübə əsasında öyrənilən və daxili intuisiya ilə müəyyən olunan ola bilər.

Qabaqcadan bilinənlərə a priori ehtimallar deyilir. Bu cür ehtimalları tapmaq üçün təcrübə yox, sadəcə dünyagörüşü bəs edər. Zərin 6 üzü olduğunu və ya bir dəstdə 52 kart olduğunu, qəpiyin 2 üzü olduğunu bilmək, onlar haqqında ehtimalı müəyyənləşdirməyə kifayət edir.

Təcrübə əsasında öyrənilən isə, müşahidə və analiz tələb edir. Mən 100 nəfər tələbə arasında sorğu keçirərək və ya onların davamiyyətini 1 ay müşahidə edərək müəyyən ehtimal formalaşdıra bilərəm.

İntuisiya ilə müəyyən olunan isə əslində ikinci qrupa yaxındır. Çünki daxili intuisiya da daha əvvəlki təcrüblərimizə dayanır. Sadəcə biz hadisəni sistemli şəkildə araşdırmamış əvvəl qarşılaşdıqlarımızdan dolayı bizdə formalaşan fikirlərə əsasən qərar veririk. Bu intuisiya uzun zaman doğru formaldırıldığı zaman müdrikliyə çevrilir. Və müdrik insan artıq verdiyi qərarlara təsir edən keçmiş təcrübələr haqqında düşünmədən birbaşa fikir bildirir. Nə qədər qəribə olsa da, müharibə görmüş insanın atəş səsi eşidəndə digərlərindən daha çox qorxması buna bir nümunədir. Beyin hadisələri bir-biri ilə assosiasiya edərək bizə signal ötürür və bizdə gözlənti formalaşır. Bu situasiya "oğlanlar hamısı eynidir" deyən qızlar, və ya "qızlar hamısı pula və yaraşığa baxır" deyən oğlanlar üçün də eynidir. Və göründüyü üzərə çox zaman da doğru olmaya bilir.

Eyni bir çoxluğa daxil olan elementlər "mutually exclusive" yəni qarşılıqlı müstəsna və "collectively exhaustive" yəni bir-birini tamamlayan olmalıdır. (tərcümələr "Google translate" keyfiyyətindədir, çox da fikir verməyin, gələn buraxılışlarda düzəldəcəyik. Eyni zamanda terminlərlə bağlı fikirlərə daima açığıq.)

Hadisələrin "mutually exclusive" olması o deməkdir ki, mövcud çoxluğa aid hadisələrdən eyni anda yalnız biri baş verə bilər. Məsələn, mənim dərsə getməyim və ya getməməyim "mutually exclusive" hadisələrdir. Mən ikisini də eyni anda edə bilmərəm. Bir torbadan çıxan bir top, ancaq bir rəngdə ola bilər. Zərin ancaq bir üzü yuxarı düşə bilər. Lakin fərqli çoxluqlara daxil olan hadisələr "mutually exclusive" olmaya da bilər, məsələn mənim və dostumun dərsə gəlməsi, eyni anda atılan iki zərin yuxarı düşən üzü, və s. Əgər belə hadisələr "mutually exclusive" olursa, deməli, onlar bir-biri ilə tam neqativ asılılıq var. (aramızda neqativ münasibət olan şəxslərlə eyni mühitdə olma eyni anda ola bilməməsi kimi). Hadisələr arasındakı asılılıq və şərti ehtimallardan danışan zaman bu mövzuya toxunacağıq.

"Collectively exhaustive" isə, çoxluqdakı elementlərin bütün mümkün hadisələri əhatə etməsi deməkdir. Az öncə yuxarıda qeyd etdiyim Molla Nəsrəddin lətifəsində molla və arvadının dediyi hallar bir-birini tamamlayır. Deməli, bizim seçdiyimiz hadisə mütləq şəkildə mümkün hadisələrin içindən olmalıdır. Və bütün mümkün hadisələrin cavabı 1 tama bərabər olmalıdır. Əgər belə deyilsə, deməli mümkün hadisələr çoxluğu doğru tərtib olunmayıb. Nəzərinizə çatdırım ki, ehtimal 0 və 1 arasında dəyişən ədəddir. Və bu aralıqdan qırağa çıxa bilməz. Əgər bir hadisənin ehtimalı 1-dirsə, deməli çoxluq elə bir elementlərin ibarətdir. Əgər ehtimal 0-dırsa, deməli o element çoxluqda artıqdır. Məsələn, zərdə 7 rəqəminin düşməsi ehtimalını çoxluğa daxil etsək, qiymət 0 olduğu üçün cəmə təsir etməz, lakin bu mənasızdır. Və biz burada 7 mümkün hal var deyə bilmərik. Mümkün hal ehtimalı 0-dan fərqli olan haldır. Ehtimalı 1-ə bərabər olan hadisə isə yeganə mümkün haldır. Məsələn, zərdə 1-6 aralığında ədədləri düşməsi kimi. (1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1)

Bəzən müxtəlif hadisələrin ehtimalı kəsişə, və ya birləşə bilər. Məsələn, məni maraqlandıran bir sual var və bu sualın cavabını iki adam bilir. Yəni mən onların ən az biri ilə danışmalıyam. Mənə məlumdur ki, 1-ci şəxs 20%, digəri isə 30% ehtimalla zəngə cavab verir.

Şərti sadələşdirmək üçün deyək ki, ikisinin də eyni anda zəngə cavab vermə ehtimalı 0%-dir. Bu zaman mən sualıma 50% ehtimalla (20% + 30% = 50%) cavab tapacağam. 50% ehtimalla dostlarımdan biri mənə cavab verəcək.

Adətən vəziyyət belə olmur. Bu iki dostun telefona cavab vermə ehtimallarının kəsişmə nöqtəsi də olur. Yəni ikisi də eyni anda telefona cavab vermək üçün uyğun ola bilərlər. Bu halda hesablamada əlavə edilməlidir. Gəlin belə bir nümunəyə baxaq. Bu dəfə 1-ci şəxs 20%, digəri isə 30% ehtimalla zəngə cavab verir. İkisinin də cavab vermə ehtimalı isə 10%-dir. Bu dəfə hesablama 20% + 30% - 10% şəklində olacaq. Çünki diaqramlardan da göründüyü kimi, ortaq sahə iki dəfə toplanmış olur və bunlardan birini hesablamadan çıxmaq lazımdır ki, doğru cavab alınsın. (Sanki iki dostun 3 qələmi var biri ortaqdır. Beləcə, hərəsinin 2 qələmi olur, lakin onların cəmi 4 yox, 3 qələmi var.)

Yaxşı bəs kəsişməsində özünü necə hesablayaq. Hadisələr bir-birindən asılı olmadığı halda, iki hadisənin bərabər baş vermə ehtimalı həmin ehtimalların hasilinə bərabərdir. Deyək ki, mən 50% ehtimalla, dostum 70% ehtimalla parka gedirik. Onda bizim qarşılaşmaq ehtimalınız 50%×70%=35%.

Hadisələr bir-birindən asılı olduğunda isə bu hadisə bir az fərqli olur. Deyək ki, çoxdandır uzaqdan-uzağa sevdiyiniz biri var. Və onun hara gedib gəlməsi, təbii ki, sizi də maraqlandırır ki, onunla qarşılaşmaq üçün şansınızı artırasınız. Bu zaman həmin insanın hər hansısa bir kitab mağazasına getməsindən xəbər tutsanız, bu zaman onu qərarı sizə təsir edəcək və sizdə ora gedəcəksiniz. Yəni sizin mağazaya getmənizlə, onun mağazaya getməsi arasında şərti asılılıq var. Bu dəfə yenə sizin mağazaya getmə ehtimalınız 50% (Buna P(A) deyək), digər şəxsin isə mağazaya getmə ehtimalı 70%-dir (Buna da P(B) deyək) (real nümunədə bu rəqəmlər arasında bu ehtimallar bir-birinə bərabər də ola bilər ; - )), və əlavə olaraq da, "O" mağazaya gedərsə, sizin getmək ehtimalınız 60%-dir. Yəni P(A/B) = 60%. O zaman P(A and B) = P(A/B) × P(B) = 60% × 70% = 42%. Şərti asılılıq olamdığı zaman bu ehtimal 35% idi. Yəni sizin qarşılaşmaq şansınız daha da artır (Necə deyərlər fürsətləri insan özü yaratmalıdır : - D).

Şərti Ehtimal barəsində daha dərin başqa bir bloqda izah edəcəm çünki bu özü kifayət qədər dərin başa düşülməli olan mövzudur. Hələlik isə onu bilməyiniz kifayətdir ki, hadisələrin bir-birindən asılılığı yarananda bərabər baş vermə ehtimalı artır. Əgər şərti ehtimal, sizin mağazaya getmə ehtimalınıza bərabər olsaydı, bu o demək idi ki, məlum şəxsin ora gedib-getməməsindən asılı olmayaraq, siz mağazaya gedəcəkdiniz. Bu da bizim ilk nümunəmizdəki hala bərabərdir. Bu halda P(A/B) = P(A) olduğuna görə, P(A and B) = P(A) × P(B). Yəni hadisələr arasında heç bir asılılıq yoxdur və onların eyni anda baş verməsi qeyri-ixtiyaridir və ya belə demək olarsa, təfavüqən baş verir. Zira təsadüf taleyə inanmayanların ona qoyduğu addır. Qoşa atılan zərlər qoşa düşməsi demək bir az da bizdən asılıdır. (real zər nümunəsində isə bu ehtimal 1/36-dır, 1/6 * 1/6 = 1/36)

Elə təfavüqən də, düz bir ay bundan qabaq dahi şairimiz Məmməd Arazın doğum günü idi. Dekabrın 1-i isə vəfat tarixidir. Şeirləri ilə qəlbimizdə yaşayan şairimizi hörmətlə və rəhmətlə anırıq...