Qaz ətini yemədən ləzzətini bilənlər
Atalarımız yaxşı deyib, "od olmayan yerdən tüstü çıxmaz", "soğan yeməmisən, için niyə göynəyir?!", "yeməmisən qaz ətini, nə bilirsən ləzzətini?!", "göz görməsə, könül bulanmaz" və s. Fikir verdinizsə, işlətdiyim cümlələrdə şərt var və hadisə müəyyən bir şərhlə izah olunur. Yəni tərəflər arasında səbəb-nəticə əlaqəsi var. Məsələn, tüstü olması üçün od olmalıdır. Hə, həm də atalar deyib ki, "yalanın ömrü 40 gündür". Bunu niyə dedim? Onu da sonra biləcəksiniz.
Əvvəlki bloqlarda, ehtimal nəzəriyyəsindən, asılı hadisələrdən danışmışdıq. Bəzi hadisələrin eyni anda baş vermə səbəbi onlar arasındakı şərti asılılıqdır. Yəni hadisələr arasında əlaqə var. Onlardan biri səbəb, digəri nəticədir. Şərti asılı ehtimallarda səbəbə əsasən, nəticəni tapmağı öyrənmişdik, Qeyd edək ki, səbəb və nəticə anlayışı toyuq-yumurta dilemması qədər qəlizdir və çox zaman dövrü olub "o mənə dedi, mən də ona dedim" məsələsi kimi uzanıb gedə bilir. Məsələn, devalivasiya olduqca insanlar dollar almağa çalışır, dollara tələb artdıqca, devalivasiya da artmağa davam edir. Keçən dəfə də səhvlərin nəticəsindən və səbəbindən danışmışdıq. Bir işin səhv hesab olunması əslində onun nəticəsi ilə bağlıdır. Nəticəsi gözlənilən tələblərə cavab verməyən iş səhvdir. Təcrübə qazandıqca bəzi nəticələri baş vermədən qiymətləndirə bildiyimizə görə həmin nəticələrə səbəb ola biləcək səhvlərdən qaçırıq. Bunu şərti asılılıqla izah etmişdik. İndi isə nəticəyə əsasən səbəbin tapılmasına fokuslanacağıq.
Belə bir nümunə deyək: söz verib, gecikdirdiyiniz adamdan birdən-birə 10 cavabsız zəng alırsınızsa, həyəcan sizi bürüyür. Çünki 10 cavabsız zənglə nəticələnən bu məsələnin səbəbini müəyyən etmək sizin üçün elə də çətin deyil. Onsuz da, telefona cavab verəndə "əgər qorxmursansa, telefona niyə cavab vermirsən?!" kimi bir cümlə eşidəcəksiniz. Çünki dostunuz da, sizin telefona cavab verməmənizlə nəticələnən hadisənin səbəbini təxmin edə bilir.
Şərti asılılığı P(A|B) kimi işarə edirdik - yəni B hadisəsi baş verəndə A-nın ehtimalı. Deyək ki, burada B səbəbdir, A nəticə. Onda A-ya əsasən B-nin ehtimalı P(B|A) kimi göstəriləcək. Yəni əgər A baş veribsə, B-nin baş vermiş olma ehtimalı nə qədərdir. Eynilə sizə zəng edən şəxsin zəng etmə səbəbini təxmin etmək kimi.
Bu üsuldan əsasən istintaqda, tibbi testlərdə, həttə imtahanda istifadə olunur. Sizin göstərdiyiniz nəticəyə görə dərsə nə qədər hazırlaşdığınız, testin nəticəsinə görə pasientin sağlamlığı, istintaqda da şübhəli şəxsin günahsızlığı araşdırılır. (çünki ədalət günahkarı tapmaq üçün yox, günahsız olanın məsumluğunu sübut etmək üçün var).
Yuxarıda qeyd olunanlara əsasən Bayes teoreminin düsturunu formalaşdıraq:
Şərti asılılıq üçün P(A|B) ehtimalı var.
P(A|B) = P(A & B)/P(B) olduğunu bilirik.
Və P(A & B) = P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A) olduğu da məlumdur.
P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A) bərabərliyindən
Beləliklə, P(A|B)-dan P(B|A)-ni tapdıq.
P(A|B) x P(B)/P(A) = P(B|A) - Bayes teoremi
Yəni Likelihood x Prior/Evidence = Posterior (Şərti ehtimal x İlkin ehtimal/Müşahidə = Tapılan ehtimal)
Prior - daha öncədən bilinən məlumat və ya fərziyyədir. Məsələn, məhsulların neçə faizi yararsızdır. Bu cür məlumatları biz daha öncəki araşdırma və müşahidələrlə müəyyən edirik. Və yaxud da fərziyyə irəli sürürük və onun yoxlayırıq. Daha sonra tapdığımız posterior ehtimal bizim prior ehtimalı əvəz edir.
Likelihood - verilən şərt daxilində test nəticəsinin ehtimalıdır. Məsələn, mallar yararsız olduğu halda, test bunu neçə faiz dəqiqliklə müəyyən edə bilər?
Evidence - testin müsbət (bizim nümunədə qiymətləndirmənin nəticəsi yararsız və deffektli olduqda nəticə müsbət hesab olunur) nəticələrinin faizidir. Yəni test neçə faiz hallarda məhsulu yararsız olaraq qiymətləndirir. Qeyd edək ki, test və ya model məhsulu yanlışlıqla yararsız "hesab edə" bilər.
Posterior - testin nəticəsinə görə məhsulun həqiqətən də yararsız olma ehtimalıdır. Bu məhz bizim axtardığımız nəticədir. Çünki biz testin nəticəsinə əsasən qərar veririk. Əgər mən bütün yararsız məhsulları testə göstərib, neçəsini doğru tapdığını ölçsəm, bu əlverişli olmaz. Çünki onsuz da, mən bütün məhsulların yararsız olduğunu bilirəm. Mən qarışıq halda toplanmış məhsullar arasından yararsız olanlarının doğru tapılmasını istəyirəm. Buna görə də mənə elə bir test lazımdır ki, mən onun nəticəsinə əsasən məhsulların nə qədərinin yararsız olduğunu aydınlaşdıra bilim.
Burada A və B-nin yeri fərqli də ola bilər, baxır siz bunlardan hansını testin nəticəsi, hansını isə nəticəyə səbəb olduğunu iddia etdiyimiz həqiqət kimi götürürsünüz.
Yuxarıdakıların qısa icmalı kimi deyək ki, Bayes teoremi bizə əldə olunan yeni data ilə prior məlumatı yeniləməyə imkan verir.
Belə bir nümunəyə baxaq:
Mən dostumun mənə verdiyi son 10 məlumatdan 5-nin yanlış olduğunu öyrənirəm. Dostum bu məlumatı mənə səhvən deyə bilər, yaxud da o mənə yalan danışır. Mənə görə dostum 90% hallarda yalançı biri deyil. Ancaq 0 30% hallarda mənə yanlış məlumat verə bilir. İndi mən aydınlaşdırmaq istəyirəm ki, dostum mənə yalan danışır, yoxsa, özü də məlumatı yanlış şəkildə öyrənib. Bunun üçün əldə etdiyim bu yeni data və Bayes teoremindən istifadə edəcəyəm.
Düsturum belədir: Likelihood x Prior/Evidence = Posterior
Yəni,
P(Cavab = Yanlış | Səbəb = Yalan) x P(Səbəb = Yalan)/P(Cavab=Yanlış)
= P(Səbəb=Yalan | Cavab = Yanlış)
Əvvəlcə gəlin Likelihoodu hesablayaq. Əgər mənim dostum 10% hallarda yalan deyirsə, onda dediyi hər sözün yalan olma ehtimalı 10%-dir.
1a. Dostum yalançı olduğu halda 5 sözün yanlış olma ehtimalı
P(Cavab = Yanlış | Səbəb = Yalan) = 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 = 0.00001
1b. Dostum səhv məlumat verdiyi halda 5 sözün yanlış olma ehtimalı isə
P(Cavab = Yanlış | Səbəb = Səhvlik) = 0.3 x 0.3 x 0.3 x 0.3 x 0.3 = 0.00243
Mən dostumun yalan demə ehtimalını axtardığıma görə şərti ehtimal = 0.000001 kimi götürürəm.
2. 0.00001 x Prior/Evidence = Posterior
Prior ehtimalı isə 50% müəyyən edirəm. Çünki mövcud vəziyyətdə maksimum neytral yanaşaraq düşünürəm ki, dostum yalan da deyə bilər, səhv də edə bilər.
3. 0.00001 x 0.5/Evidence = Posterior
İndi isə gəlin müşahidənin ehtimalını hesablayaq:
4. P(Cavab=Yanlış) = P(Cavab = Yanlış | Səbəb = Səhvlik) x P(Səbəb = Səhvlik) + P(Cavab = Yanlış | Səbəb = Yalan) x P(Səbəb = Yalan) = 0.00243 x 0.5 + 0.00001 x 0.5 = 0.001215 + 0.000005 = 0.00122
5a. Dostumun 5 yanlış məlumat verdiyi halda yalan danışmaq ehtimalı:
0.00001 x 0.5/0.00122 = Posterior
0.00001 x 0.5/0.00122 = 0.00409 = 0.41%
5b. Dostumun 5 yanlış məlumat verdiyi halda səhv ehtmək etimalı:
0.00243 x 0.5/0.00122 = 0,9959 = 99.59%
Qeyd edək ki, bu iki hadisənin ehtimalları cəmi 100% olmalıdır: 0.41% + 99.59% = 100%
Daha əvvəl dostumuzun yalan demədiyindən 50% əmin idik. İndi isə 99.59% əminik. Növbəti dəfə Bayes teoremindən istifadə etdikdə prior ehtimal kimi artıq 99.59% götürəcəyik.
Bayes teoremi ilə bağlı bugünlük bu qədər. Növbəti bloqumuzda teoremin fərqli tətbiqlərini sizinlə birlikdə öyrənməyə davam edəcəyik.
Salamat qalın. Riyaziyyatı sevin.
İstinadlar: